背包问题汇总

Reinhart

2020-11-21

教程, 算法

0-1背包

题目：https://www.acwing.com/problem/content/2/

分析：

$$
dp[i][j]意思是只放前i个物品在总体积是j的情况下的物品的贡献
$$

易得状态方程为：

$$
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]+w[i]])
$$

$$
dp[i][j]=dp[i-1][j]意思是不选第i个物品（dp[i][j]直接原封不动保留上一个i的状态）
$$

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,v[1005],w[1005],dp[1005][1005];
int main() {
    cin>>n>>m;
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for (int i = 1; i <=n; ++i) {
        for (int j =0; j <=m ; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不放
            if (j >= v[i]) //要当前背包的总体积大于v[i]才能把i物品放进背包
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
//    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
//        for (int j = 0; j <=m ; ++j) {
//            cout<<dp[i][j]<<' ';
//        }
//        cout<<endl;
//    }
    int res=0;
    for (int i = 0; i <=m ; ++i) {
        res=max(res,dp[n][i]); //dp[n]意思是将n个物品都权衡利弊后选择n个物品中的部分放入背包（不超过背包最大容量）,
    }													 //但不知道这些物品的总体积是多少，所以遍历所有可能的体积输出价值最大值即为答案。
    cout<<res<<endl;

}

测试数据：

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

dp数组内容：

0 2 2 2 2 2
0 2 4 6 6 6
0 2 4 6 6 8
0 2 4 6 6 8

最后输出：8

优化后的代码：

==只用了一维==

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,v[1005],w[1005],dp[1005];
int main() {
    cin>>n>>m;
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for (int i = 1; i <=n; ++i) {
        for (int j =m; j >=v[i] ; --j) { //j从大到小循环是为了让dp[j-v[i]]的值是上一层i的值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);//(dp[j-v[i]]后于dp[j]更新)
            //cout<<dp[j]<<' ';
        }
        //cout<<endl;
    }
    cout<<dp[m];
}

dp数组内容：

2 2 2 2 2
6 6 6 4
8 6 6
8 6
8

==注:若要求达到最大价值时的最大体积(恰好)需将初始化dp[N]={0}改为dp[0]=0，剩余dp为-INF; ans从直接输出dp[m]变为max(dp[0…m]).==

状态方程的详细求解过程：

acwing算法笔记本-2

二维优化成一维的推导：

IMG_988F8EF4F15E-1

完全背包

题目：https://www.acwing.com/problem/content/3/

$dp[i][j]$同样也是表示从前i个物品中选，总体积不超过j的方案集合，唯一的区别就是完全背包问题中每个物品都可以取无限个

所以可得到：
$$
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i],…)
$$
按道理来说需要三层循环，但是可以被优化成二层循环：
$$
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]）
$$

具体证明：

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,dp[1005][1005];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,m,v[1005],w[1005];
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m];
}

二维优化成一维：

$$
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]）\to dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])
$$

与0-1背包不同的是，0-1背包的$dp[j-v[i]]$对应的是i上一层也就是i-1层的值，而这里的$dp[i][j-v[i]]$要求对应本层i的值，也就是让$dp[j-v[i]]$先更新再更新$dp[j]$，所以把j从大到小循环改为从小到大循环即可。

优化后的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,dp[1005];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,m,v[1005],w[1005];
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[m];
}

多重背包

题目(数据范围小)：https://www.acwing.com/problem/content/4/

朴素做法(三维)：

多一维遍历第i个物品选$0～s[i]$个的所有情况

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int v[105],w[105],s[105],dp[105]={0};
    //memset(dp,0,105);
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = m; j >=v[i] ; --j) {
            //cout<<dp[j]<<' ';
            for (int k = 1; k <=s[i] ; ++k) {
                if(j>=k*v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
        //cout<<'\n';
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
//    for (int i = 0; i <=m ; ++i) {
//        cout<<dp[i]<<' ';
//    }
}

题目(数据范围大)：https://www.acwing.com/problem/content/5/

思考到多重背包问题可以将每个物品拆开然后重新存入数组里，但如果直接拆开根据数据范围$sNV=200010002000=2*10^9$

还是会超过时间限制，所以考虑到将物品通过二进制的方法拆解：假如某物品有7件用1，2，4就可以表示全部可能。所以得出s件物品只需要$\lceil log(s) \rceil$的时间，所以就是$1110002000\approx2*10^7$，可以在规定时间内通过。但在具体实现中还会有问题，假如某物品有10件，不能直接用1，2，4，8表示，因为1，2，4，8可以表示1～15，而11～15不是我们所需要的。所以采取一个策略：用s减去1，2，4…当s<0的时候停止，并将最后剩余的那个数存进数组。假如10，$10-1-2-4=3$，所以就将1，2，4，3存入数组。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
struct struc {
    int v, w;
};
int v[2005], w[2005], s[2005], dp[2005];
vector<struc> vec;  //用结构体矢量存拆开的物品的数据

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    //memset(dp,0,105);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int k = 1; k <= s[i]; k *= 2) {
            s[i] -= k;
            vec.push_back({k * v[i], k * w[i]});
            //cout<<k<<' '<<"s[i]"<<s[i]<<' ';
        }
        //cout<<endl;
        if (s[i] > 0)vec.push_back({s[i] * v[i], s[i] * w[i]});  //将剩下的那个数存进矢量
    }
    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {  
        for (int j = m; j >= vec[i].v; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - vec[i].v] + vec[i].w);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
}

分组背包

题目：https://www.acwing.com/problem/content/9/

解析：

代码：

#include<iostream>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,dp[105],s[105],v[105][105],w[105][105];
int main() {
    cin>>n>>m;
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        cin>>s[i];
        for (int j = 1; j <=s[i] ; ++j) {
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = m; j >=0 ; --j) {
            for (int k = 1; k <=s[i] ; ++k) {
                if(v[i][k]<=j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]); //遍历第i组物品中的所有可能
            }
        }
    }
    cout<<dp[m];
}